Espace pédagogique

Cartes flash : la course aux nombres

2025-06-25T20:32:23Z

Niveau : Seconde, Première

Thème : Automatismes

cartes

Niveau et Durée : seconde, première technologique, première spécifique

Objectif pédagogique :

Travailler sur les automatismes au lycée.
Préparer en classe l'épreuve annuelle de la course aux nombres.

Modalités de travail : L'entraînement aux automatismes se fait à l'aide de cartes flash, conçues à partir de questions issues de différentes éditions de La Course aux Nombres, enrichies et adaptées. Les élèves disposent d'un tableau de suivi récapitulant les différents thèmes abordés (visible en fin de document), ainsi que leur niveau de maîtrise au fil des séances. Pour valider un item (par un point vert), l'élève doit répondre correctement à au moins 7 cartes sur 10. En cas d'échec, il inscrit un point rouge sur l'item correspondant. Les entraînements peuvent porter sur un ou plusieurs items à la fois.

Les entrainements peuvent aussi se faire avec plusieurs items différents.

Dispositif 1 : Tour à Tour

En binôme, les élèves choisissent un paquet de 10 cartes sur un thème.
L'un lit la question, l'autre répond ; le lecteur vérifie la correction.
Un point est marqué pour chaque bonne réponse.
À l'issue des 10 cartes, l'item est validé ou non selon le score.
Les rôles sont ensuite échangés.

Dispositif 2 : Duel

Toujours par binôme, les élèves disposent un paquet de 10 cartes entre eux.
À chaque carte, chacun réfléchit individuellement avant de comparer leurs réponses.
Ils échangent sur les stratégies employées, puis vérifient au verso.
À la fin, ils comptent leurs points pour désigner un gagnant.
Ils peuvent valider ou non l'item travaillé en fonction de leur résultat.

Organisation des entraînements : Deux formats sont possibles selon le temps disponible en classe :

En continu, chaque semaine : un paquet de 10 cartes à réaliser en 3 minutes (ou 2 paquets en 6 minutes).
En séance ponctuelle plus longue : avec un fonctionnement en « montantes / descendantes », où les élèves changent de niveau ou de binôme toutes les 3 minutes pour dynamiser l'activité.

Le choix de 3 minutes pour 10 cartes correspond au rythme de l'épreuve de la Course aux Nombres (30 questions en 9 minutes).

Remarque :

Afin de permettre aux élèves de s'entraîner à la maison, un emprunt de cartes est possible.
Par ailleurs, ces cartes sont progressivement converties en questions intégrées à la banque de questions ELEA. Vous trouverez en téléchargement un parcours compressé (au format ZIP) proposant des tests d'entraînement par thème. Les questions sont tirées aléatoirement depuis la banque, ce qui permet un entraînement varié et renouvelé à chaque tentative.

Dans les programmes du niveau visé : Programme de seconde

Diversité de l'activité de l'élève : « L'installation de ces automatismes est favorisée par la mise en place d'activités rituelles, notamment de calcul (mental ou réfléchi, numérique ou littéral). »
Nombres et calculs : « Il convient d'équilibrer la formation, d'une part en proposant des applications variées et significatives des notions et techniques étudiées, d'autre part, en veillant à l'acquisition des automatismes, par la pratique fréquente de calculs routiniers. »

Analyse à posteriori du dispositif : L'utilisation du support « cartes flash », en rupture avec les formats plus traditionnels, permet de rompre avec la routine d'un cours classique. Ce changement de modalité stimule l'intérêt des élèves et contribue à diversifier les activités pédagogiques. Les cartes ont l'avantage de mettre rapidement les élèves en activité. Le fait de devoir répondre à voix haute devant un pair crée une forme d'engagement direct et actif, favorisant la participation. Cette dynamique favorise un climat de travail coopératif et implique l'ensemble du groupe. Le document intitulé « Fiche de suivi des entraînements » s'avère également être un outil efficace pour individualiser les apprentissages. Il permet d'identifier les compétences encore fragiles et d'orienter les efforts des élèves vers les notions qui nécessitent un renforcement ciblé.

Piste d'amélioration : Un point d'amélioration réside dans l'absence de trace écrite des erreurs commises. Bien que les explications soient souvent données oralement par un pair, elles ne sont pas systématiquement consignées, ce qui peut conduire à la répétition d'erreurs similaires. Il serait donc pertinent d'instaurer un suivi des réponses erronées, sous forme de carnet ou de fiche individuelle, afin de favoriser une réelle prise de conscience des erreurs et d'éviter leur récurrence.

SANGAKUS

2025-06-25T15:27:00Z

Niveau : Troisième, Seconde

Thème : résoudre un problème de géométrie, calcul littéral

Durée :

6 séances

Objectif pédagogique :

Réalisation de 8 Sangakus sur toile ou papier balayant les capacités attendues en géométrie (projeté orthogonal, trigonométrie, Pythagore, …). Les constructions nécessitent des raisonnements utilisant du calcul algébrique et littéral.

Les 8 sangakus à réaliser

Prérequis :

Trigonométrie
Projeté orthogonal
Calcul littéral (double distributivité, identités remarquables)
Equations du premier degré,
Connaissance des nombres.

Modalités de travail :

Séance 1 : Prologue sous la forme d'un JIGSAW basé sur la présentation à des groupes d'élèves d'un support fragmenté dont les élèves doivent reconstruire le sens global en travaillant ensemble.

Phase 1 : Constitution des groupes Sangakus par l'enseignant. Les 8 sangakus proposés sont classés par ordre croissant de difficulté. Avant cette séance, l'enseignant a attribué à chaque élève le numéro d'un Sangaku dont la complexité est adaptée.

Phase 2 : Le prologue est découpé en quatre ateliers A, B , C et D. Au sein de chaque groupe Sangaku, on attribue une lettre A, B, C ou D à chaque élève correspondant au prologue dédié. A leur entrée en classe, les élèves se regroupent par lettre (deux groupes A, deux groupes B, deux groupes C et deux groupes D) et travaillent sur le prologue attribué.

Séance 2 : Les élèves se regroupent cette-fois ci par Sangaku et rendent compte de leur prologue respectif pour compléter en commun la fiche bilan qui servira de base de travail pour l'étude du sangaku du groupe. La fiche d'étude du Sangaku est donnée à chaque groupe pour débuter la phase de calculs.

Séances 3 à 5 : L'objectif est que chaque élève rédige proprement et avec rigueur sur une feuille les différentes étapes de calculs. L'enseignant relèvera la production d'un élève de chaque groupe.

Séance 6 : Les élèves débutent la construction du Sangaku sur toile. Il est nécessaire de les accompagner pour débuter. Il est possible de leur demander la construction de la figure avec Géogébra, plus adaptée aux élèves dyspraxiques.

Dans les programmes du niveau visé :

Résoudre des problèmes de géométrie plane dans des figures simples ou complexes.
Projeté orthogonal.
Calcul littéral
Distance
Equations
Effectuer des calculs numériques ou littéraux mettant en jeu des racines et des écritures fractionnaires.
Utilisation de la calculatrice pour effectuer des calculs complexes.

Un exemple de réalisation d'un groupe

Analyse des expérimentations :

Les huit sangakus sont classés par ordre de complexité et l'enseignant choisira uniquement les sangakus qu'il souhaite proposer à ses élèves.
Il faut s'assurer que les séances 1 et 2 soient proches pour faciliter la mise en commun des prologues.
Tous les calculs avec radicaux seront effectués avec la calculatrice. Aucun calcul technique n'est demandé.

Vous prendrez bien un peu de logique ?

2025-05-19T17:54:26Z

Niveau : Lycée

Thème : Manipulation de notions de logique et de raisonnement

IREM de BREST

Accédez à des fiches niveau lycée de découverte et de manipulation de notions de logique et de raisonnement : implication, réciproque, contre-exemple,… Ces activités ont été expérimentées en classe.

Niveau et durée :

Niveau lycée.
Durée variable : des questions rapides de début de séance à des séances complètes.
Chaque fiche comporte des énoncés pour les élèves et une fiche professeur : but de l'activité, déroulé, objectifs et commentaires.
Les activités ont été expérimentées en classe.

Présentation et objectifs pédagogiques :
Pour comprendre, comme pour construire un raisonnement mathématique, il est certes nécessaire de connaître les notions engagées par le problème étudié, mais également d'avoir assimilé des notions de logique. Cette acquisition est complexe. Citons par exemple le ou en mathématiques, le si…alors compris souvent comme une équivalence dans le langage courant. Nous proposons diverses activités où l'accent est mis sur la logique tout en renforçant d'autres notions mathématiques du programme. Nos expériences en classe confortent l'idée que cela est d'une grande aide apportée aux élèves pour être plus à l'aise en mathématiques.

Les activités à télécharger :
Sur chaque fiche, vous trouverez la fiche élève et la fiche professeur qui décrit l'activité.
Pour information : D'autres fiches sont en cours d'élaboration.

Questions rapides autour de l'implication	Questions rapides autour de l'implication (format odt)	Questions rapides autour de l'implication (format .pdf)
Implication et trinôme	Implication et trinôme (format .odt)	Implication et trinôme (format .pdf)
Réciproque : Découverte	Réciproque : Découverte (format .odt)	Réciproque : Découverte (format .pdf)
Quantificateurs : Introduction	Quantificateurs : Introduction (format .odt)	Quantificateurs : Introduction (format .pdf)
Ensembles : Introduction	Ensembles : Introduction (format .odt)	Ensembles : Introduction (format .pdf)
Raisonnement : Syllogismes	syllogismes	syllogismes

Physique-Chimie en voie technologique

2025-03-09T19:08:47Z

Niveau : en voie STI2D ou STL.

Thème : Les compétences mathématiques sont souvent mobilisées dans le cadre des apprentissages en physique-chimie. Les élèves ont cependant parfois des difficultés à établir du lien entre les deux disciplines. Ces ressources explorent trois pistes pour aborder ces compétences de manière concertée entre les deux professeur-es intervenant sur l'enseignement de Physique-Chimie et Mathématiques.

- Ressources Lycée

Epidémie et urnes de Polya

2024-07-04T05:49:07Z

Niveau : Première ou Terminale.

Thème : Probabilités. Simulation. Python.

George (György) Pólya (1887 - 1985)

Niveau et Durée :

Classe de première (ou terminale) générale ou technologique, durée 1heure (sans la partie D, théorique)

Objectif pédagogique :

Modéliser et simuler la propagation d'une épidémie selon le modèle de Polya :

Simuler une expérience aléatoire avec l'outil informatique, travailler la notion de liste en Python.
Utiliser l'informatique pour simuler un grand nombre d'expériences aléatoires.
Utiliser l'outil informatique, calculatrice, particulièrement les listes.
Calculer des probabilités en utilisant un arbre de probabilités. Encrer le questionnement mathématique dans l'histoire de l'humanité et des sciences Démontrer les résultats obtenus avec un arbre de probabilité.

Mots clés : probabilités , simulations, arbre de probabilité, algorithme python, liste en python

Présentation de la situation :

On souhaite utiliser le modèle de Polya pour simuler la propagation d'une épidémie, et, avec un grand nombre de tests, discuter de la proportion de malades dans une population obtenue grâce à ce modèle. L'activité est conçue en quatre parties :

Partie A : Simuler la propagation avec une fonction générant un nombre aléatoire
Partie B : Expérience simulée avec un programme Python, utilisation possible de l'outil Capytale
Partie C : Synthèse et retour à la situation initiale
Partie D : Prolongement avec les calculs de probabilités

Les différentes parties A, B, C et D peuvent être traitées indépendamment.

Pré-requis :

Notion de proportion, fréquence et probabilités (programme de seconde)
Connaissances de seconde sur la programmation en Python pour la troisième partie.

Dans les programmes du niveau visé :

Contenus :

Probabilités :
Variable aléatoire réelle : modélisation du résultat numérique d'une expérience
Le travail expérimental de simulation d'échantillons
Arbres pondérés et calcul de probabilités
Probabilités conditionnelles
Algorithmique :
Listes en python Générer des listes
Simuler une variable aléatoire avec Python.

Capacités attendues :

Probabilités :
Simuler une expérience aléatoire, tirage au sort
Notion de probabilité conditionnelle
Notion d'indépendance de deux événements
Construire un arbre de probabilités d'étapes mutuellement dépendantes et l'utiliser pour des calculs de probabilités
Faire un lien entre expérimentation et démonstration
Construire un arbre de probabilités avec des étapes mutuellement dépendantes.
Construire un arbre pondéré et calculer (règle produit, somme)
Distinguer modèle et réalité
Entrevoir la « loi des grands nombres »
Algorithmique :
Utiliser les boucles usuelles
Générer une liste, parcourir une liste, manipuler les éléments d'une liste, itérer sur les éléments d'une liste.
Parcourir une liste

Analyse des expérimentations :

Partie A : Bien insister sur la manipulation des jetons pour bien comprendre la situation et facilité la mise en place de l'arbre de probabilités dans la partie D.

Partie B : Ne pas hésitez à donner des coups de pouce pour compléter l'algorithme, pour avancer sur l'aspect probabilité. Pour l'utilisation de l'activité Capytale penser à importer l'activité dans vos activités et à modifier le lien de la fiche élève.

Pour gérer l'hétérogénéité de l'avancement, tout en validant la compréhension du problème, il semble préférable de de faire un point correction des questions 3 et 4 avec un petit groupe d'élèves plutôt qu'avec l'ensemble de la classe. Ne pas hésiter à missionner les élèves qui ont compris rapidement pour aller valider le travail d'autres élèves. De même pour les questions 5)a) et 5b) .

Partie C : On pourra pour illustrer cette synthèse en proposant quelques représentations graphiques issues des ressources bibliographiques.

Bibliographie :

https://www.apmep.fr/IMG/pdf/LES_URNES_DE_POLYA_6.pdf
https://tangente-mag.com/probleme.php?id=2104
http://serge.mehl.free.fr/chrono/Polya.html
https://simulations.lpma.math.upmc.fr/polya/
https://hal.archives-ouvertes.fr/tel-00346327
https://bretagne-environnement.fr/biologie-genetique-populations-une-espece-invasive-cas-vison-amerique-mustela-vison-schreber-1777-bretagne

Modélisation de l'évolution d'une population de faisans

2024-07-01T15:38:19Z

Niveau : Première, Terminale

Thème : Modèles d'évolution. Suites arithmétiques et géométriques. Fonction exponentielle.

Niveau et Durée :

Classe de première - Maths Complémentaires - Term Spé (début d'année ou Devoir maison), séance d'une heure.

Objectif pédagogique :

Séquence complète pour introduire et utiliser la modélisation de phénomènes biologiques (Population). Occasion d'approcher la courbe de tendance. Dans cette séquence, plusieurs dispositifs pédagogiques ont été testés : travail en groupe, enchaînement des activités ou en parallèle, en mise en commun.

Mots clés : modélisation discrète, suite, arithmétique, géométrique, tableur, nuage de points, courbe de tendance, ajustement d'un nuage de points, méthode des moindres carrés (suivant les versions), algorithme python, GeoGebra

Les consignes et la réalisation attendue :

L'activité peut se faire seul(e) ou en groupes, avec outil informatique (Géogébra, Tableur, Python par exemple sur Capytale).

Pré-requis :

Suites arithmétiques et géométriques
Fonction exponentielle

Modalités de travail – exemples de déroulements possibles :

En salle informatique, par groupe de deux ou trois, avec au minimum un ordinateur par groupe. Le travail se fait en autonomie sur l'ensemble de la séance. Aide entre groupes suggérée, ce qui a permis l'auto-correction entre élèves et l'avancée de l'ensemble des groupes.
Un bilan oral a été réalisé au cours suivant.

Option possible :
Traiter l'activité en parallèle de l'activité « modélisation de l'évolution d'une population de cigognes » en répartissant les groupes sur les deux activités.
Cela permet de mettre en évidence l'intérêt de mobiliser une même démarche sur des situations différentes.
Nécessité d'accès à des ordinateurs pour l'utilisation de logiciels : GeoGebra, Utilitaire, Python, Tableur

Dans les programmes du niveau visé :

Contenu : Phénomènes et modèles d'évolution :

En terminale Mathématiques Complémentaires : En Première Tronc commun : En Première spécialité :

- Modéliser des phénomènes qui dépendent du temps, à l'aide de suites ou de fonctions d'une variable réelle. Les suites ou fonctions considérées peuvent être données a priori ou être obtenues lors d'une résolution de problème : suites vérifiant une relation de récurrence
- Ajustement statistique d'une série chronologique.
- La mise en regard des modèles discrets et des modèles continus est un objectif important. - Modéliser des grandeurs dont l'évolution est discrète avec une suite.
- Appréhender deux modèles classiques d'évolution, la croissance linéaire et la croissance exponentielle, sans exclure la présentation d'autres modèles.
- Compréhension et interrogation critique des modèles étudiés pour développer des capacités de raisonnement et d'argumentation.
- Utiliser deux modes de génération d'une suite, par récurrence et explicite, peuvent entre introduits lors de la résolution de problèmes. - Modéliser des grandeurs dont l'évolution est discrète avec une suite.
- Utiliser deux modes de génération d'une suite, par récurrence et explicite.
- Suites arithmétiques : exemples, définition, calcul du terme général. Lien avec l'étude d'évolutions successives à accroissements constants. Lien avec les fonctions affines.
– Suites géométriques : exemples, définition, calcul du terme général. Lien avec l'étude d'évolutions successives à taux constant. Lien avec la fonction exponentielle.
– Sens de variation d'une suite.
– Questionner la notion de modèle

Capacités associées :

Définition par relation de récurrence. Explicitation du terme de rang n. Sens de variation.
Représentation graphique.
Manipulation des suites arithmétiques et géométriques. Fonction exponentielle.

Plus précisément pour la spécialité de première :

Dans le cadre de l'étude d'une suite, utiliser le registre de la langue naturelle, le registre algébrique, le registre graphique, et passer de l'un à l'autre.
Proposer, modéliser une situation permettant de générer une suite de nombres. Déterminer une relation explicite ou une relation de récurrence pour une suite définie par un motif géométrique, par une question de dénombrement.
Calculer des termes d'une suite définie explicitement, par récurrence ou par un algorithme.

Analyse des expérimentations :

L'intérêt de l'activité est de permettre aux élèves de travailler avec des données réelles, leur permettant ainsi de se confronter au statut d'un modèle. Ils ont pu analyser, faire le choix d'un modèle le plus adapté, et expérimenter le fait qu'un modèle a pour vocation de représenter au mieux la réalité, sans y arriver complètement. L'activité peut être utilisée dans différents contextes :

Mathématiques complémentaires début d'année
En fin d'année de tronc commun de première
Maths spé première modélisation par une suite

Une deuxième version est proposée, donnée en devoir maison de début d'année à des élèves de Terminale spé maths pour remobiliser la notion de modélisation par une suite.

A noter :
Cette activité fait partie d'un ensemble de plusieurs activités sur le thème de la modélisation :

Autours des cigognes (modèle linéaire) ;
Autours de faisans (limite du modèle linéaire : passage au modèle exponentiel) ;
L'adoucisseur d'eau (limite du modèle exponentiel : passage au modèle logistique

Ressources :

HENRY Claude, 2001, Biologie des populations animales et végétales, édtions DUNOD
Ted J.Case, 2000, An illustrated Guide to Theoritical Ecology, éditions OXFORD

Modélisation de l'évolution d'une population de cigognes

2024-07-01T15:38:12Z

Niveau : Première, Terminale

Thème : Modèle d'évolution. Suites arithmétiques et géométriques. Fonction exponentielle.

Niveau et Durée :

Version 1 : Classe de première - Maths Complémentaires - Term Spé (début d'année ou Devoir maison), séquence (1 heure).

Version 2 : Enseignement scientifique classe de Terminale : deux séquences de 45 min (partie 1 : modèle linéaire ; partie 2 : modèle exponentielle)

Objectif pédagogique :

Séquence complète pour introduire et utiliser la modélisation de phénomènes biologiques (Population). Occasion d'approcher la courbe de tendance. Dans cette séquence, plusieurs dispositifs pédagogiques ont été testés : travail en groupe, enchaînement des activités ou en parallèle, en mise en commun.

Mots clés :

modélisation discrète, suite, arithmétique, géométrique, tableur, nuage de points, courbe de tendance, ajustement d'un nuage de points, méthode des moindres carrés (suivant les versions), algorithme python, GeoGebra

Les consignes et la réalisation attendue :

L'activité peut se faire seul(e) ou en groupes, avec outil informatique (Géogébra, Tableur, Python par exemple sur Capytale).

Pré-requis :

Suites arithmétiques et géométriques
Fonction exponentielle

Modalités de travail – exemples de déroulements possibles :

Version 1 : Avec un groupe de 20 élèves en mathématiques complémentaires
En salle informatique, par groupe de deux ou trois, avec au minimum un ordinateur par groupe.
Le travail se fait en autonomie sur l'ensemble de la séquence.
Aide entre groupes suggérée, ce qui a permis l'auto-correction entre élèves et l'avancée de l'ensemble des groupes.
Un bilan oral a été réalisé au cours suivant.

Option possible :
Traiter l'activité en parallèle de l'activité « modélisation de l'évolution d'une population de faisans » en répartissant les groupes sur les deux activités. Cela permet de mettre en évidence l'intérêt de mobiliser une même démarche sur des situations différentes.

Version 2 : Avec un groupe de 35 élèves d'enseignement scientifique
En individuel, sur papier, avec possibilités d'échanges avec les voisins de tables (peut s'envisager en travail de groupe pour les échanges)
Point régulier à la fin de chaque partie.
Formaliser à la fin de la partie A.
Faire des points corrections pour s'assurer que les résultats indispensables à la suite sont corrects.
Utilisation du fichier GeoGebra et du fichier python.

Matériel : Ordinateur pour les logiciels (GeoGebra, Utilitaire Python , Tableur (pour l'activité « faisan »)

Dans les programmes du niveau visé :

Contenu : Phénomènes et modèles d'évolution :

En terminale Mathématiques Complémentaires : En Première Tronc commun : En Première spécialité :

- Modéliser des phénomènes qui dépendent du temps, à l'aide de suites ou de fonctions d'une variable réelle. Les suites ou fonctions considérées peuvent être données a priori ou être obtenues lors d'une résolution de problème : suites vérifiant une relation de récurrence
- Ajustement statistique d'une série chronologique.
- La mise en regard des modèles discrets et des modèles continus est un objectif important. - Modéliser des grandeurs dont l'évolution est discrète avec une suite.
- Appréhender deux modèles classiques d'évolution, la croissance linéaire et la croissance exponentielle, sans exclure la présentation d'autres modèles.
- Compréhension et interrogation critique des modèles étudiés pour développer des capacités de raisonnement et d'argumentation.
- Utiliser deux modes de génération d'une suite, par récurrence et explicite, peuvent entre introduits lors de la résolution de problèmes. - Modéliser des grandeurs dont l'évolution est discrète avec une suite.
- Utiliser deux modes de génération d'une suite, par récurrence et explicite.
- Suites arithmétiques : exemples, définition, calcul du terme général. Lien avec l'étude d'évolutions successives à accroissements constants. Lien avec les fonctions affines.
– Suites géométriques : exemples, définition, calcul du terme général. Lien avec l'étude d'évolutions successives à taux constant. Lien avec la fonction exponentielle.
– Sens de variation d'une suite.
– Questionner la notion de modèle

Capacités associées :

Définition par relation de récurrence. Explicitation du terme de rang n. Sens de variation.
Représentation graphique.
Manipulation des suites arithmétiques et géométriques. Fonction exponentielle.

Plus précisément pour la spécialité de première :

Dans le cadre de l'étude d'une suite, utiliser le registre de la langue naturelle, le registre algébrique, le registre graphique, et passer de l'un à l'autre.
Proposer, modéliser une situation permettant de générer une suite de nombres. Déterminer une relation explicite ou une relation de récurrence pour une suite définie par un motif géométrique, par une question de dénombrement.
Calculer des termes d'une suite définie explicitement, par récurrence ou par un algorithme.
Suites géométriques : exemples, définition, calcul du terme général. Lien avec l'étude d'évolutions successives à taux constant. Lien avec la fonction exponentielle.
Sens de variation d'une suite.
Questionner la notion de modèle

Analyse des expérimentations :

L'intérêt de l'activité est de permettre aux élèves de travailler avec des données réelles, leur permettant ainsi de se confronter au statut d'un modèle. Ils ont pu analyser, faire le choix d'un modèle le plus adapté, et expérimenter le fait qu'un modèle a pour vocation de représenter au mieux la réalité, sans y arriver complètement. La version 1 peut être utilisée dans différents contextes :

Mathématiques complémentaires début d'année
En fin d'année de tronc commun de première
Maths spé première modélisation par une suite

La version 2 convient également pour le niveau Mathématiques Complémentaires, notamment pour aborder la méthode des moindres carrés. Cette approche permet de mettre l'accent sur la régression linéaire.

A noter :
Cette activité fait partie d'un ensemble de plusieurs activités sur le thème de la modélisation :

Autours des cigognes (modèle linéaire) ;
Autours de faisans (limite du modèle linéaire : passage au modèle exponentiel) ;
L'adoucisseur d'eau (limite du modèle exponentiel : passage au modèle logistique

Ressources :

LEBRETON J.D., 1982. Modèles dynamiques déterministes définis par des équations de récurrence. In : J.D. et C. MILLIER (Eds. ) Modèles dynamiques déterministes en biologie. PP. 58-59 Masson, Paris.
HENRY Claude, 2001. Biologie des populations animales et végétales. pp. 105-106 DUNOD.
HENRY Claude, 2001, Biologie des populations animales et végétales, édtions DUNOD
Ted J.Case, 2000, An illustrated Guide to Theoritical Ecology, éditions OXFORD

L'adoucisseur d'eau

2024-07-01T15:38:05Z

Niveau : Terminale

Thème : Limites, variations, fonction exponentielle, ajustements d'une série statistique à deux variables, convexité.

Niveau et Durée :

Classe de terminale générale, spécialité ou mathématiques complémentaires suivants les parcours proposés.
Durée : 1 heure 30 minutes à 2h suivants les parcours.

Présentation et objectifs pédagogiques :

Cette activité propose une modélisation autours de données réelles obtenues en testant une résine échangeuse d'ions permettant l'adoucissement de l'eau. Au début de l'activité vous trouverez un texte explicatif ainsi qu'une vidéo pour plus d'explications.
Quatre parcours sont proposés pour l'étude théorique du modèle.
Les parties 1, 2 et 4 de chacun des quatre parcours sont identiques. La partie 3 diffère en fonction des parcours pour permettre une différenciation en fonction du niveau des élèves et des attentes du professeur :

parcours 1 : Etude d'une fonction donnée en utilisant un logiciel de calcul formel,
parcours 2 : Etude d'une fonction donnée en calculant la dérivée et la dérivée seconde « à la main »,
parcours 3 : Etude qualitative de la fonction donnée à partir de l'équation différentielle qu'elle vérifie,
parcours 4 : Trouver la fonction en résolvant l'équation différentielle.

Mots clés : modélisation, conjecture, tableur, pourcentage, taux d'évolution, ajustement d'un nuage de points, convexité, algorithmique avec Python, logiciel de calcul formel (Géogébra), équations différentielles, Géogébra (nuage de points, courbe de tendance), limites, variations d'une fonction, fonction exponentielle.

Dans les programmes du niveau visé :

En terminale spécialité :

Contenu :
Limites, variations, fonction exponentielle, ajustements d'une série statistique à deux variables, convexité.
Capacités :
Calculer un taux d'évolution (seconde, première),
Etude d'une limite avec fonction exponentielle
Etude d'une fonction avec exponentielle
Etude de la convexité d'une fonction, en utilisant le graphique ou en démontrant par le calcul
Etude qualitative des solutions d'une équation différentielle
Algorithmique :
Formule tableur, tracé de graphique avec tableur,
Interpréter les résultats obtenus avec un logiciel de calcul formel,
Interpréter, utiliser, compléter un programme Python.

En terminale maths complémentaires :
L'activité traite deux thèmes des programmes de Maths complémentaires à savoir :

« Modèles définis par une fonction d'une variable »
Contenus associés : Fonctions dérivées, sens de variation, extremums, fonctions de référence, convexité, statistiques à deux variables, représentations graphiques, effectuer un ajustement d'un nuage de points, choisir le meilleur ajustement d'un nuage de points, dans le cadre d'une résolution de problème, utiliser un ajustement pour interpoler, extrapoler.
« Modèles d'évolution »
Contenus associés : fonction exponentielle, équations différentielles, limites. Exemple d'algorithme : recherche de seuil.

Les consignes et déroulement :

L'activité peut se faire seul(e) ou en groupes, avec outil informatique (Géogébra, Tableur, Python). Dans l'activité proposée, on utilise les plateformes GeogebraClassroom et Capytale sans que ce soit absolument nécessaire.

Analyse a posteriori :

Couvre de nombreux items des programmes de terminale spécialité, terminales Maths complémentaires, et BTS.
Les élèves s'engagent facilement dans le problème car le début est simple.
Les élèves ont parlé d'une courbe vue en Physique qui s'appelle « saut de pH ».
Utilisation de Géogébra ne pose pas de problème.
Un rappel sur le calcul du taux d'évolution peut être opportun.
Attention au tableur et à l'utilisation des arrondis.

Cette activité peut être adaptée à d'autres niveaux. Sans la partie 3 et la dernière question de la partie 2 elle est réalisable en terminale technologique STL, STI2D éventuellement STMG. Elle est réalisable par ailleurs en classe de BTS et atteint de nombreux thèmes d'étude.

A noter :
Cette activité fait partie d'un ensemble de plusieurs activités sur le thème de la modélisation :

Autours des cigognes (modèle linéaire) ;
Autours de faisans (limite du modèle linéaire : passage au modèle exponentiel) ;
L'adoucisseur d'eau (limite du modèle exponentiel : passage au modèle logistique

Jeu : Can't Stop

2024-06-24T15:46:34Z

Niveau : Première spécialité

Thème : Activité d'introduction à la notion de variable aléatoire, en étudiant le jeu « Can't Stop ». Python

Jeu Can't Stop

Niveau et Durée :
Classe de première générale ou technologique, durée 45min sans la troisième partie

Présentation et objectifs :
Activité d'introduction à la notion de variable aléatoire, en étudiant le jeu « Can't Stop ». (Auteur : Sid Sackson, date de 1^re édition : 1981, éditeur : Miro Meccano)

Déroulement :
Chaque élève étudie son document, puis le travail peut être personnel ou par groupe. Seule la partie 3 nécessite d'être sur un poste informatique.

Étude 1 : (25 minutes) Étude du lancer de deux dés :
Étudier la loi de probabilité d'une variable aléatoire calculant la somme de deux dés. Il faut laisser les élèves chercher et faire émerger les solutions de modélisation : tableau, arbre… Mise en commun des résultats : tableau de la loi de probabilité. Insister sur le vocabulaire (variable aléatoire, loi de probabilité) Calcul intuitif de l'espérance, qui peut être prolongé par le calcul formel.

Étude 2 : (20 minutes) comparer les probabilités aux fréquences observées sur le plateau.
Comparaison des fréquences :

Projeter le plateau pour un calcul plus facile (support ppt).
L'analyse des résultats bruts peut être difficile. Les valeurs obtenues sont très proches, voilà pourquoi le plateau de jeu est ainsi constitué.
Utiliser un logiciel pour établir une comparaison graphique des données (nuage de points, diagramme en barre)
Commencer par expliquer que, les résultats étant globalement dans le même ordre de grandeur, il n'y aura pas de piste nettement plus avantagée qu'une autre. Par contre les légers écarts des 5/6-8/9 avec d'autres sont interprétables : ces pistes peuvent être privilégiées pour espérer gagner.
Attirer l'attention sur le fait que les véritables règles du jeu étant différentes (lancers de 4 dés et choix des couples), la modélisation complète est plus compliquée.

Étude 3 : Avec Python sur Capytale
Disposer d'un identifiant de compte académique (Toutatice) est nécessaire. L'activité est une activité de simulation qui utilise des listes. Elle peut servir pour l'introduction du formalisme les concernant. Un memento qui résume l'essentiel des commandes à connaître.

Dans les programmes du niveau visé :

Contenus :

Notion de variable aléatoire discrète.
Utiliser un tableau à double entrée pour modéliser les résultats d'une expérience aléatoire.
Tableau de la loi de probabilité suivie par une variable aléatoire discrète.
Calculer une espérance (et un écart-type).
Listes en python

Capacités attendues :

Probabilités :
Interpréter des situations et calculer des probabilités en utilisant les notations X=a, X≤a P(X=a), P(X≤a).
Calculer des fréquences.
Comparer des fréquences observées à des probabilités calculées.
Expérimentation en option avec python sur Capytale.
Simuler une variable aléatoire avec Python
Lire, comprendre et écrire une fonction Python renvoyant la moyenne d'un échantillon de taille n d'une variable aléatoire.
Simuler, avec Python, N échantillons de taille n d'une variable aléatoire, d'espérance µ (et d'écart-type σ.)
Algorithmique :
Utiliser la notion de fonction
Générer une liste, parcourir une liste, manipuler les éléments d'une liste, itérer sur les éléments d'une liste.
Parcourir une liste

Analyse a posteriori :

Quelques remarques après le test de l'activité.

Étape 1 : Insister sur la différence entre fréquences réellement observées et probabilités calculées. Activité courte ; pour les élèves les plus rapides, faire calculer l'écart-type par exemple. Le site Mathix propose une simulation : https://mathix.org/jeu-stopoucontinue/index.html qui peut permette de mieux comprendre le jeu.
L'étude 1 a été complétée en 20 min. Un point peut être fait alors pour présenter la notion de variable aléatoire.
Il semble nécessaire de détailler les calculs de probabilités, notamment passage de l'inégalité à la somme d'égalités.
Profiter du calcul de p(X>=3) pour parler de l'évènement contraire.

Étape 2 :
Suggérer et laisser le temps aux élèves de faire le diagramme en barre de comparaison de fréquences et probabilités sur tableur (prend environ 10min) pour mieux visualiser.

Étape 3 :
Cette étape peut être faite ou non suivant l'objectif de la séance (prévoir une vingtaine de minutes suivant les connaissances des élèves)

Prolongement possible :
Demander aux élèves d'écrire un algorithme permettant de calculer l'écart-type (après avoir donné la formule par exemple).

TRIOMINO : Évolutions et variations

2024-05-13T13:17:44Z

Niveau : Première générale et technologique

Thème : Automatismes

Triomino

Niveau et Durée :

Première technologique ; 15 à 20 minutes.

Objectif pédagogique (compétence contextualisée attendue) :

Travailler un automatisme de calcul.

Les consignes et la réalisation attendue :
Le jeu du Triomino avec des taux d'évolutions supérieurs à 1 uniquement se situe en pages 1 et 2. Il est composé de 12 pièces, pour pouvoir jouer facilement à 2, 3 ou 4.
Un complément est possible en pages 3 et 4 pour créer d'autres pièces avec des taux d'évolutions supérieurs à 1 seulement.
Une variante est envisageable en page 5 pour créer un jeu avec des taux d'évolutions inférieurs à 1.
Enfin des pièces vides sont à disposition en page 6 pour créer un jeu au choix (par exemple un mélange d'augmentations et de diminutions).
Modalités de travail (déroulement) :

Par groupes de 2 ou 3 élèves, en autonomie, plutôt en fin de séance.

Dans les programmes du niveau visé :
Automatisme : Évolutions et variations
Capacité attendue : Passer d'une formulation additive (« augmenter de 5 % », respectivement « diminuer de 5 % ») à une formulation multiplicative (« multiplier par 1,05 », respectivement « multiplier par 0,95 »)
Analyse des expérimentations :

Ce jeu a été testé dans plusieurs classes et nous avons retenu deux intérêts principaux : il a favorisé l'engagement des élèves et la remédiation par les pairs. Pour les groupes les plus rapides, nous pouvons mettre des pièces à disposition à compléter eux-mêmes pour agrandir le jeu. Une autre variante envisageable est de proposer des pièces à compléter par les élèves pour créer un jeu de diminution sur le même modèle. Enfin, bien sûr, il est possible de mélanger augmentations et diminutions, en proposant par exemple à chaque élève de compléter une seule pièce, mais il faut peut-être se fixer un cadre pour que les pièces puissent se relier (par exemple travailler avec 5%, 7%, 10% et 12%).