- Groupe TraAM Mathématiques 2023-2024 de l’Académie de Rennes
Niveau et durée : Première spécialité Mathématiques. 2 heures
Objectifs pédagogiques : Résoudre un problème en mobilisant les connaissances et les méthodes apprises lors de l’étude des fonctions et des équations du second degré. Développer l’esprit critique.
La situation-problème : Les élèves étudient le temps de trajet sur un réseau routier simplifié selon deux types d’aménagements différents. Suite à cette étude, on aboutit à la conclusion que la suppression d’une voie de circulation sur le réseau permet fluidifier le trafic. Cette conclusion paraît surprenante, au sens où elle semble aller contre le sens commun ; elle est une illustration du paradoxe de Braess.
| Un premier réseau | Un deuxième réseau |
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Pré-requis :
- Sens de variation des fonctions affines et des fonctions du second degré
- Résoudre une équation du second degré
Modalité de travail :
- Fiche élève à compléter et à projeter au tableau
Déroulement et analyse du dispositif :
Phase 1 : Les élèves prennent connaissance de l’activité. L’enseignant projette le premier réseau et s’assure que les élèves parviennent à interpréter correctement les résultats des calculs des parties 1 et 2. (30 minutes)
Phase 2 : Correction des parties 1 et 2 (20 minutes). Le professeur présente le second réseau et la nouvelle variable x qui permet de modéliser la répartition des usagers sur les deux itinéraires : x sur ABD et (1-x) sur ACD (10 minutes). Les élèves s’engagent sur la partie 3 (30 minutes).
Phase 3 : Correction de la partie 3 (10 minutes). Une discussion est proposée pour mettre en lumière le paradoxe de Braess (10 minutes).
Pour fluidifier le trafic, parfois la solution consiste à fermer une route à la circulation. Étonnant non ? Cette situation fut observée en 1990 à New York lorsque la municipalité décida de fermer temporairement la 42e rue, l’une des plus congestionnées de la ville. Contre toute attente, cela a réduit les embouteillages sur le réseau ! C’est l’une des premières illustrations en situation réelle du paradoxe de Braess, un phénomène mis en évidence de manière théorique en 1968 par le mathématicien allemand du même nom…
d’après l’article de Corinne Touati « Quand plus égale Moins », publié le 11 janvier 2023 sur le site interstices.info.
Points de vigilance
- Dans la partie 3, les temps de trajet sur les itinéraires varient en fonction d’une variable x qui représente la proportion d’usagers empruntant l’itinéraire ABD. Certains élèves ont eu des difficultés à calculer l’expression de la fonction TC(x).
Approfondissements ou prolongements possibles :
- Illustration de la répartition des usagers sur le réseau à l’aide d’une interface web disponible sur le site source de cette activité https://interstices.info/quand-plus-egale-moins
- Lecture de l’article : https://interstices.info/quand-plus-egale-moins
Dans les programmes de mathématiques en première générale :
- Fonction polynôme du second degré
- Résolution d’une équation du second degré
Les Compétences mises en jeu au lycée
Chercher
- Analyse un problème
- Extraire, organiser et traiter l’information utile
Modéliser
- Traduire en langage mathématiques une situation réelle à l’aide de fonctions
Représenter
- Choisir un cadre (numérique, algébrique, géométrique…) adapté pour traiter un problème ou pour représenter un objet mathématique.
Raisonner
- Effectuer des inférences (inductives, déductives) pour obtenir de nouveaux résultats, confirmer ou infirmer une conjecture, prendre une décision.
Communiquer
- Développer une argumentation mathématique correcte à l’écrit et à l’oral.
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