Epidémie et urnes de Polya

George (György) Pólya (1887 - 1985)

Niveau et Durée :

Classe de première (ou terminale) générale ou technologique, durée 1heure (sans la partie D, théorique)

Objectif pédagogique :

Modéliser et simuler la propagation d’une épidémie selon le modèle de Polya :

  • Simuler une expérience aléatoire avec l’outil informatique, travailler la notion de liste en Python.
  • Utiliser l’informatique pour simuler un grand nombre d’expériences aléatoires.
  • Utiliser l’outil informatique, calculatrice, particulièrement les listes.
  • Calculer des probabilités en utilisant un arbre de probabilités. Encrer le questionnement mathématique dans l’histoire de l’humanité et des sciences Démontrer les résultats obtenus avec un arbre de probabilité.

Mots clés : probabilités , simulations, arbre de probabilité, algorithme python, liste en python

Présentation de la situation :

On souhaite utiliser le modèle de Polya pour simuler la propagation d’une épidémie, et, avec un grand nombre de tests, discuter de la proportion de malades dans une population obtenue grâce à ce modèle. L’activité est conçue en quatre parties :

  • Partie A : Simuler la propagation avec une fonction générant un nombre aléatoire
  • Partie B : Expérience simulée avec un programme Python, utilisation possible de l’outil Capytale
  • Partie C : Synthèse et retour à la situation initiale
  • Partie D : Prolongement avec les calculs de probabilités

Les différentes parties A, B, C et D peuvent être traitées indépendamment.

Pré-requis :

  • Notion de proportion, fréquence et probabilités (programme de seconde)
  • Connaissances de seconde sur la programmation en Python pour la troisième partie.

Dans les programmes du niveau visé :

Contenus :

  • Probabilités :
    • Variable aléatoire réelle : modélisation du résultat numérique d’une expérience
    • Le travail expérimental de simulation d’échantillons
    • Arbres pondérés et calcul de probabilités
    • Probabilités conditionnelles
  • Algorithmique :
    • Listes en python Générer des listes
    • Simuler une variable aléatoire avec Python.

Capacités attendues :

  • Probabilités :
    • Simuler une expérience aléatoire, tirage au sort
    • Notion de probabilité conditionnelle
    • Notion d’indépendance de deux événements
    • Construire un arbre de probabilités d’étapes mutuellement dépendantes et l’utiliser pour des calculs de probabilités
    • Faire un lien entre expérimentation et démonstration
    • Construire un arbre de probabilités avec des étapes mutuellement dépendantes.
    • Construire un arbre pondéré et calculer (règle produit, somme)
    • Distinguer modèle et réalité
    • Entrevoir la « loi des grands nombres »
  • Algorithmique :
    • Utiliser les boucles usuelles
    • Générer une liste, parcourir une liste, manipuler les éléments d’une liste, itérer sur les éléments d’une liste.
    • Parcourir une liste

Analyse des expérimentations :

Partie A : Bien insister sur la manipulation des jetons pour bien comprendre la situation et facilité la mise en place de l’arbre de probabilités dans la partie D.

Partie B : Ne pas hésitez à donner des coups de pouce pour compléter l’algorithme, pour avancer sur l’aspect probabilité. Pour l’utilisation de l’activité Capytale penser à importer l’activité dans vos activités et à modifier le lien de la fiche élève.

Pour gérer l’hétérogénéité de l’avancement, tout en validant la compréhension du problème, il semble préférable de de faire un point correction des questions 3 et 4 avec un petit groupe d’élèves plutôt qu’avec l’ensemble de la classe. Ne pas hésiter à missionner les élèves qui ont compris rapidement pour aller valider le travail d’autres élèves. De même pour les questions 5)a) et 5b) .

Partie C : On pourra pour illustrer cette synthèse en proposant quelques représentations graphiques issues des ressources bibliographiques.

Bibliographie :

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