L’adoucisseur d’eau

Niveau et Durée :

Classe de terminale générale, spécialité ou mathématiques complémentaires suivants les parcours proposés.
Durée : 1 heure 30 minutes à 2h suivants les parcours.

Présentation et objectifs pédagogiques :

Cette activité propose une modélisation autours de données réelles obtenues en testant une résine échangeuse d’ions permettant l’adoucissement de l’eau. Au début de l’activité vous trouverez un texte explicatif ainsi qu’une vidéo pour plus d’explications.
Quatre parcours sont proposés pour l’étude théorique du modèle.
Les parties 1, 2 et 4 de chacun des quatre parcours sont identiques. La partie 3 diffère en fonction des parcours pour permettre une différenciation en fonction du niveau des élèves et des attentes du professeur :

  • parcours 1 : Etude d’une fonction donnée en utilisant un logiciel de calcul formel,
  • parcours 2 : Etude d’une fonction donnée en calculant la dérivée et la dérivée seconde « à la main »,
  • parcours 3 : Etude qualitative de la fonction donnée à partir de l’équation différentielle qu’elle vérifie,
  • parcours 4 : Trouver la fonction en résolvant l’équation différentielle.

Mots clés : modélisation, conjecture, tableur, pourcentage, taux d’évolution, ajustement d’un nuage de points, convexité, algorithmique avec Python, logiciel de calcul formel (Géogébra), équations différentielles, Géogébra (nuage de points, courbe de tendance), limites, variations d’une fonction, fonction exponentielle.

Dans les programmes du niveau visé :

En terminale spécialité :

  • Contenu :
    • Limites, variations, fonction exponentielle, ajustements d’une série statistique à deux variables, convexité.
  • Capacités :
    • Calculer un taux d’évolution (seconde, première),
    • Etude d’une limite avec fonction exponentielle
    • Etude d’une fonction avec exponentielle
    • Etude de la convexité d’une fonction, en utilisant le graphique ou en démontrant par le calcul
    • Etude qualitative des solutions d’une équation différentielle
    • Algorithmique :
      • Formule tableur, tracé de graphique avec tableur,
      • Interpréter les résultats obtenus avec un logiciel de calcul formel,
      • Interpréter, utiliser, compléter un programme Python.

En terminale maths complémentaires :
L’activité traite deux thèmes des programmes de Maths complémentaires à savoir :

  • « Modèles définis par une fonction d’une variable »
    Contenus associés : Fonctions dérivées, sens de variation, extremums, fonctions de référence, convexité, statistiques à deux variables, représentations graphiques, effectuer un ajustement d’un nuage de points, choisir le meilleur ajustement d’un nuage de points, dans le cadre d’une résolution de problème, utiliser un ajustement pour interpoler, extrapoler.
  • « Modèles d’évolution »
    Contenus associés : fonction exponentielle, équations différentielles, limites. Exemple d’algorithme : recherche de seuil.

Les consignes et déroulement :

L’activité peut se faire seul(e) ou en groupes, avec outil informatique (Géogébra, Tableur, Python). Dans l’activité proposée, on utilise les plateformes GeogebraClassroom et Capytale sans que ce soit absolument nécessaire.

Analyse a posteriori :

Couvre de nombreux items des programmes de terminale spécialité, terminales Maths complémentaires, et BTS.
Les élèves s’engagent facilement dans le problème car le début est simple.
Les élèves ont parlé d’une courbe vue en Physique qui s’appelle « saut de pH ».
Utilisation de Géogébra ne pose pas de problème.
Un rappel sur le calcul du taux d’évolution peut être opportun.
Attention au tableur et à l’utilisation des arrondis.

Cette activité peut être adaptée à d’autres niveaux. Sans la partie 3 et la dernière question de la partie 2 elle est réalisable en terminale technologique STL, STI2D éventuellement STMG. Elle est réalisable par ailleurs en classe de BTS et atteint de nombreux thèmes d’étude.

A noter :
Cette activité fait partie d’un ensemble de plusieurs activités sur le thème de la modélisation :

Documents à télécharger