Niveau et Durée :

Spécialité mathématiques de première, séance d’une heure.

Objectif pédagogique :

Construction point par point de la courbe de la fonction exponentielle en s’appuyant sur l’égalité f’=f et f(0)=1 par la méthode d’Euler.

Présentation de la situation :

L’activité se présente sous deux formes : une version tableur et une version Python.

La partie A est commune aux deux versions. Dans cette première partie, l’élève expérimente la méthode d’Euler : approximation de la courbe de la fonction exponentielle en déterminant les points successifs à l’aide du taux de variation. Les élèves obtiendront (à l’étape 4) une formule générale pour l’obtention d’une valeur approchée de f(a+h).

Deux parties B sont proposées. Partie B avec tableur, les élèves sont guidés pour compléter une feuille de calcul contenant les coordonnées des points successifs. Ils construisent une courbe approchée de la fonction exponentielle.

Partie B avec Python, les élèves complètent la partie haute du programme fourni. Ils utilisent la formule générale obtenue dans la partie A pour compléter les listes contenant les coordonnées des points successifs et placer ces points dans un repère.

A la fin de la séance, les élèves obtiennent une allure de la courbe de la fonction exponentielle ainsi qu’une approximation de e.

Méthode d’Euler

Dans les programmes du niveau visé :

Contenus :

  • Définition de la fonction exponentielle, comme unique fonction dérivable sur l’ensemble des réels et vérifiant f’=f et f(0)=1 .
  • Taux de variation.
  • Nombre dérivé d’une fonction en un point comme limite d’un taux de variation.

Capacités attendues :

  • Générer une liste
  • Manipuler des éléments d’une liste
  • Calculer un taux de variation

Exemple d’algorithme :

Construction de l’exponentielle par la méthode d’Euler.

Déroulement :

La partie A se fait sur table (30 minutes) et la partie B sur poste informatique (20 minutes). Les élèves peuvent travailler par deux sur la partie A.

Analyse à posteriori du dispositif :

La méthode est comprise par la majorité des élèves. Certains groupes ont eu besoin d’une ré-explication orale de la méthode par le professeur au bout de 10 minutes. On peut envisager un bilan de la partie A avant d’aborder la partie B.

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